Literatsmansa

MENYINGKAP KEINDAHAN MATEMATIKA ILAHI: FIBONACCI DAN DESAIN ALAM

Oleh Risman Firmansyah, M.Pd*)

A.   Kisah Barisan Fibonacci

Penemu bilangan fibonacci adalah Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175-1250). Beliau adalah seorang matematikawan Italia, yang juga dikenal sebagai Fibonacci yang juga memiliki peran dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa. Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret. Setelah meninggal, ia sering disebut sebagai Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci).Ayahnya bernama William atau dikenal sebagai Bonacci. Untuk itu Leonardo memiliki julukan Fibonacci yang berasal dari kata FiliusBonacci yang artinya anak dari Bonacci.

Gambar 1 Fibonacci

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Fibonacci, ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

Gambar 2 Populasi Kelahiran Kelinci

Dari gambaran diatas, dapat diketahui bahwa :

1.       Jumlah kelinci pada bulan ke-1 : 1 pasang (namakan A)

2.       Jumlah kelinci pada bulan ke-2 : 1 pasang (A)

3.       Jumlah kelinci pada bulan ke-3 : 2 pasang (A dan B; B adalah anak dari A)

4.       Jumlah kelinci pada bulan ke-4 : 3 pasang (A, B dan C; C adalah anak dari A)

5.       Jumlah kelinci pada bulan ke-5 : 5 pasang (A, B, C, D dan E; D adalah anak dari A, sedangkan E adalah anak dari B)

6.       Dst.

Sehingga Fibonacci menggambarkan jumlah kelinci dalam setahun melalui barisan bilangan

1 1 2 3 5 8 13 21 . . .

Atau dinotasikan dengan

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 . . .

Karena mencari banyak pasangan kelinci yang beranak-pinak dalam setahun, maka yang dimaksud adalah mencari F12 pada barisan bilangan tersebut.

 B.   Algoritma Barisan Fibonacci

Cara menyusun sebuah algoritma adalah sebagai berikut:

1.   

Source Code Bilangan Fibonacci

 

2.    Hasil Source Code Bilangan Fibonacci

C.   Aplikasi Barisan Fibonacci Sebagai Bukti Kekuasaan Tuhan

Mari kita lihat beberapa aplikasi yang berhubungan dengan barisan Fibonacci sebagai bukti adanya kekuasaan Tuhan.

1.     Jumlah Daun pada Bunga (petals)

Mungkin sebagian besar tidak terlalu memperhatikan jumlah daun pada sebuah bunga. Dan bila diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu menganut barisan Fibonacci. Contohnya:

a)     Jumlah daun bunga 3 : bunga lili, iris.

b)    Jumlah daun bunga 5 : buttercup (sejenis bunga mangkok).

c)     Jumlah daun bunga 13 : ragwort, corn marigold, cineraria.

d)    Jumlah daun bunga 21 : aster, black-eyed susan, chicory.

e)     Jumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrum, daisy.

f)     Jumlah daun bunga 55,89 : michaelmas daisies, the asteraceae family.

Gambar 4 Jumlah Daun pada Bunga

2.     Tangan Manusia

Angkatlah tangan Anda dari mouse komputer dan lihatlah bentuk jari telunjuk Anda. Jari-jemari kita memiliki tiga ruas. Perbandingan ukuran panjang dari dua ruas pertama terhadap ukuran panjang keseluruhan jari tersebut menghasilkan angka rasio emas (kecuali ibu jari). Anda juga dapat dilihat bahwa perbandingan ukuran panjang jari tengah terhadap jari kelingking merupakan rasio emas pula.

Anda memiliki dua (2) tangan, dan jari-jemari yang terdiri dari tiga (3) ruas. Terdapat lima (5) jari pada setiap tangan, dan hanya delapan (8) dari keseluruhan sepuluh jari ini tersambung menurut rasio emas: 2, 3, 5, dan 8 bersesuaian dengan angka-angka pada barisan Fibonacci.

Gambar 5 Panjang Ruas Jari Manusia

3.     Seni Musik

Dalam musik, Fibonacci sangat mudah dikenali oleh pianis. Perhatikan angka Fibonacci ini : 1,2,3,5,8,13. Kalau diterjemahkan dalam bahasa musik, angka 13 adalah representasi dari jumlah nada dalam satu skala. Angka 8 menjelaskan jumlah nada dalam satu oktaf. Angka 8 mewakili jumlah nada dalam tangga nada diatonis, sementara angka 5, adalah jumlah nada dalam tangga nada pentatonis. Angka 1 (semi tone) dan 2 (whole tone) adalah nada-nada yang dibutuhkan untuk memainkan tangga nada diatonis.

Metode Fibonacci ini, bisa juga diaplikasikan sebagai perpindahan kunci. Patokannya : 1 - 2 - 3 - 5 - 8 = C - C# - D - E - G. Ini bisa Anda temukan dalam "Music for Strings Percussion and Celeste" karya Bella Bartok, yang menggunakan interval 1 : 2 : 3 : 5 : 8 : 5 : 3 : 2 : 1.

4.     LetakGeografis Mekah

Yang paling menakjubkan adalah letak geografis Ka’bah tepat di rasio emas bumi. Jika kita mengukur jarak Ka’bah kearah Kutub Utara, diperoleh angka 7631.68 km, sedangkan jika kearah Kutub Selatan, diperoleh angka 12348.32 km. Apabila kedua angka tersebut diperbandingkan dengan rumus :

 Dimana : x = arah kutub selatan; y = arah kutub utara,

maka dapat disimpulkan := 1,618

5.     Untuk Memperkirakan Pergerakan Harga

Metode Fibonaci banyak digunakan para trader untuk memperkirakan pergerakan harga. Ada dua rasio fibonacci yang banyak digunakan dalam forex yaitu fibonacci retracement & fibonacci extension. Untuk keperluan forex, inilah rasio fibonacci yang perlu anda ketahui:

1.    Fibonacci Retracement Levels: 0.236, 0.382, 0.500, 0.618, 0.764

2.    Fibonacci Extension Levels:0, 0.382, 0.618, 1.00, 1.382, 1.618

6.      Menentukan nilai optimum dari suatu fungsi (Metode Fibonacci)

Pencarian Fibonacci dapat dipakai untuk mencari nilai maximum dari sebuah fungsi satu variabel, bahkan untuk fungsi yang tidak kontinu.

 

D.   KESIMPULAN

Penemu bilangan Fibonacci adalah Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175-1250). Beliau adalah seorang matematikawan Italia, yang juga dikenal sebagai Fibonacci yang juga memiliki peran dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa. Barisan ini pertama kali dipelajari oleh Fibonacci ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

Algoritma dari barisan fibonacci dimulai dengan mengasumsikan a = 0 dan b = 1 dimana 0 dan 1 merupakan anggota bilangan bulat. Kemudian meng-input variabel x yang merupakan suku barisan fibonacci yang ingin dicari dengan rumus .

Aplikasi pada bilangan Fibonacci sebagai bukti kekuasaan tuhan sangatlah banyak, seperti kelopak pada bunga, tangan manusia, letak goegrafis mekkah, pada seni musik, dan masih banyak yang lainnya tidak dibahas dalam makalah ini.

 

E.    REFERENSI

IvanNiven, Herbert S. Montgom .Zuckerman, Hugh L. An Introduction to

       the Theory of Numbers FIFTH EDITION. 1991. (Bookos.org)

Kenneth, H Rosen. Elementary Number Theory and It. 1984. (Bookos.org)

Handrizal, Muhammad Zarlis. Algoritma dan Pemograman Edisi Kedua, Medan: USU Press, 2008. (e-book)

Yao Tung, Khoe. Memahami Teori Bilangan dengan Mudah dan Menarik,PT. Gramedia Widiasarana Indonesia, 2008.

Hadi, Cecep Anwar. Modul Teori Bilangan. PT. Gramedia Widiasarana  Indonesia, 2001 

*) Penulis guru Matematika di SMA Negeri 1 Pangalengan, pelatih Olimpiade Matematika, mantan aktivis PASKIBRA dan Penikmat Seni Tradisional Sunda